Théorème de cayley hamilton exemple

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Amer. Laissez M (n, R) être l`anneau de n × n matrices avec des entrées dans certains Ring R (tels que les nombres réels ou complexes) qui a a comme un élément. Segercrantz, J. Cependant, comme la fin (V) n`est pas un anneau commutatif, aucun déterminant n`est défini sur M (n, end (V)); Cela ne peut être fait que pour les matrices sur un sous-anneau commutative de end (V). En évaluant f (λ) = r (λ) aux valeurs propres, on obtient deux équations linéaires et = C0 + C1 et E3T = C0 + 3 C1. Considérez maintenant la fonction e: M n → M n {displaystyle e:M_{n}to m_ {n}} qui mappe n × n {displaystyle ntimes n} matrices à n × n {displaystyle ntimes n} matrices données par la formule e (A) = p A (A) {displaystyle e (A) = P_ {A} (A)} , i. trouver $b _ n $ et $c _n $ pour $2 leqslant n leqslant $5, puis trouver une relation récursive pour trouver $b _ n, C_n $ pour chaque $n geq $1. Maintenant, le composant i de cette équation dit que p (φ) (EI) = 0 V; ainsi p (φ) disparaît sur tous EI, et puisque ces éléments génèrent V, il s`ensuit que p (φ) = 0 2, fin (V), complétant la preuve. Le cas général a d`abord été prouvé par Frobenius en 1878.

Une telle égalité ne peut tenir que si dans n`importe quelle position de matrice l`entrée qui est multipliée par une puissance donnée TI est la même sur les deux côtés; Il s`ensuit que les matrices constantes avec le coefficient TI dans les deux expressions doivent être égales. Maintenant, si A admet une base de vecteurs propres, en d`autres termes si A est diagonalizable, alors le théorème de Cayley – Hamilton doit tenir pour A, puisque deux matrices qui donnent les mêmes valeurs lorsqu`elles sont appliquées à chaque élément d`une base doivent être égales. Ainsi, la fonction analytique de la matrice A peut être exprimée sous la forme d`un polynôme matriciel de degré inférieur à n. En introduisant une matrice avec des coefficients non-numériques, on peut réellement laisser A vivre dans une entrée de matrice, mais alors A I n {displaystyle AI_ {n}} n`est pas égal à A, et la conclusion est atteinte différemment. En particulier, alors que l`arithmétique des polynômes sur un anneau commutatif modélise l`arithmétique des fonctions polynomiales, ce n`est pas le cas sur un anneau non commutatif (en fait il n`y a pas de notion évidente de fonction polynomiale dans ce cas qui est fermée sous multiplication). Les expressions obtenues s`appliquent à la représentation standard de ces groupes. Il s`agit d`un cas où le théorème de Cayley – Hamilton peut être utilisé pour exprimer une fonction matricielle, dont nous parlerons ci-dessous systématiquement. Cayley dans 1858 a déclaré qu`il pour 3 × 3 et des matrices plus petites, mais seulement publié une preuve pour le 2 × 2 cas.

Lemma de Nakayama; on prend pour l`idéal dans cette proposition l`anneau entier R). Il est possible d`éviter de tels détails, mais au prix d`impliquer des notions algébriques plus subtiles: des polynômes avec des coefficients dans un anneau non commutatif, ou des matrices avec des types inhabituels d`entrées. Mensuel 99, 42-44, 1992. Let $p (x) = det (xI-A) $ être le polynôme caractéristique de $A $ et l`écrire comme [p (x) = x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_1x + a_0, ] où $a _ i $ sont des nombres réels. Le théorème a d`abord été prouvé en 1853 [8] en termes d`inverses des fonctions linéaires des quaternions, un anneau non commutatif, par Hamilton. Il est plus clair de distinguer A de l`endomorphisme φ d`un espace vectoriel n-dimensionnel V (ou module R libre si R n`est pas un champ) défini par celui-ci dans une base E1,. Le théorème de Cayley – Hamilton fournit toujours une relation entre les puissances de A (mais pas toujours la plus simple), ce qui permet de simplifier les expressions impliquant de tels pouvoirs, et de les évaluer sans avoir à calculer la puissance une ou des puissances supérieures de A . Toutes les épreuves ci-dessous utilisent la notion de la matrice com atrice Adj (m) d`une matrice n × n M, la transposition de sa matrice cofactorielle.

Ce centralisateur contient évidemment i n {displaystyle I_ {n}}, et A, mais on doit montrer qu`il contient les matrices B i {displaystyle _ _ {i}}. La dimension de $V $ est $n ^ $2. Si nous appelons cette matrice de transformation A {displaystyle A}, nous pouvons trouver le polynôme minimal en appliquant le théorème de Cayley – Hamilton à A {displaystyle A}.